Raíz cadrada

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Raíz (homónimos).

En matemáticas, a raíz cadrada dun número real non negativo x é o número real non negativo que, multiplicado consigo mesmo, dá x^[1]. A raíz cadrada de x escríbese ${\sqrt {x}}$ . Por exemplo, ${\sqrt {16}}=4$ , xa que 4 × 4 = 16, e ${\sqrt {2}}=1,4142...$ . As raíces cadradas son importantes na resolución de ecuacións cadráticas.

A xeneralización da función raíz cadrada ós números negativos dá lugar ós números imaxinarios e ao corpo dos números complexos.

O símbolo da raíz cadrada empregouse por primeira vez no século XVI. Especúlase con que tivo a súa orixe nunha forma alterada da letra r minúscula para representar a palabra latina "radix", que significa "raíz".

Definición

Sexa n un número natural non nulo. A función x → xⁿ define unha bixección, de R para R se n é impar, e de $\mathbb {R} ^{+}=[0,\infty ]$ se $n$ é par.
Chámase enésima raíz, ou raíz de orde n á súa función inversa, e denótase:

$y={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$ . (dúas notacións posibles)

Para todo n natural, a e b reais positivos, temos a equivalencia:

$a=b^{n}\iff b={\sqrt[{n}]{a}}$ .

No gráfico seguinte, hai debuxadas as curvas dalgunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A diagonal da ecuación y = x é eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.

Cambiando de escala:

A raíz de orde dúas chámase raíz cadrada e, por ser a máis frecuente, escríbese sen superíndice: ${\sqrt {x}}$ en vez de ${\sqrt[{2}]{x}}$ .
A raíz de orde tres chámase raíz cúbica.

O cálculo efectivo da raíz faise mediante as funcións logaritmo e exponencial:

${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left(\ln {\frac {x}{n}}\right)={\frac {e^{\ln x}}{n}}$ .

Tódolos ordenadores e calculadoras empregan este método. O problema é que este cálculo non funciona cos números negativos, porque o logaritmo usual so está definido en (0; + ∞). De aí unha tendencia, aínda minoritaria, de definir as raíces a partir desta fórmula, e polo tanto de restrinxir os seus dominios de definición a (0; + ∞).

Propiedades

As seguintes propiedades da raíz cadrada son válidas para tódolos números positivos x, y (e, no primeiro caso, distintos de cero):

{\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|

para todo número real x (véxase valor absoluto)

{\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}

, que é outro xeito de expresar a raíz cadrada.

A función raíz cadrada é continua para todos os x non negativos e diferenciábel para todos os x positivos:

{\dfrac {d(x^{\frac {1}{2}})}{dx}}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

A función raíz cadrada, en xeral, transforma números racionais en números alxébricos; ${\sqrt {x}}$ é racional se e só se x é un número racional que pode escribirse como fracción dos cadrados perfectos. Se o denominador é 1² = 1, entón trátase dun número natural. En cambio, ${\sqrt {2}}$ é irracional.

A función raíz cadrada, como inversa que é da potenciación por 2, transforma a superficie dun cadrado na lonxitude do seu lado.

Raíces cadradas de enteiros positivos

Un número positivo ten dúas raíces cadradas, unha positiva e outra negativa, que son opostas entre si. Cando se fala da raíz cadrada dun número enteiro positivo, adoita referirse á raíz cadrada positiva.

Como expansións decimais

As raíces cadradas dos cadrados perfectos (por exemplo, 0, 1, 4, 9, 16) son números enteiros. En todos os demais casos, as raíces cadradas dos enteiros positivos son números irracionais e, polo tanto, teñen decimais repetidos na súa representación decimal. Na seguinte táboa indícanse as aproximacións decimais das raíces cadradas dos primeiros números naturais.

$n$	${\sqrt {n}},$ truncadas a 50 decimais
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Como fracción continua periódica

Joseph Louis Lagrange, sobre o 1780, obtivo un resultado do estudo dos números irracionais como fraccións continuas simples. Lagrange descubriu que a representación da raíz cadrada de calquera número enteiro positivo non cadrado perfecto como unha fracción continua é periódica. É dicir, a fracción continua ten un certo padrón de denominadores parciais que se repite indefinidamente.

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]

Raíces cadradas de números negativos e complexos

Sabendo que $i$ representa a unidade imaxinaria, que está definida tal que $i 2 = -1$ .

Por convención, a raíz cadrada principal de −1 é $i$ , ou máis xeralmente, se $x$ é calquera número non negativo, entón a raíz cadrada principal de $- x$ é

{\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.

E podémolo comprobar elevando ao cadrado, que é a súa función inversa, $(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.$

Raíz cadrada principal dun número complexo

Para atopar unha definición para a raíz cadrada que nos permita escoller de forma consistente un único valor, chamado valor principal, comezamos observando que calquera número complexo $x+iy$ pode verse como un punto no plano, $(x,y),$ expresado usando o coordenadas cartesianas. O mesmo punto pódese reinterpretar usando coordenadas polares como o par $(r,\varphi ),$ onde $r\geq 0$ é a distancia do punto desde a orixe, e $\varphi$ é o ángulo que forma a liña desde a orixe ata o punto co eixo real positivo ( $x$ ).

Na análise complexa, a localización deste punto escríbese convencionalmente $re^{i\varphi }.$ Se

z=re^{i\varphi }{\text{ con }}-\pi <\varphi \leq \pi ,

entón a raíz cadrada principal de $z$ defínese como o seguinte:

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.

A función raíz cadrada principal defínese así usando o eixo real non positivo como un corte de rama.

Se $z$ é un número real non negativo (o que ocorre se e só se $\varphi =0$ ), entón a raíz cadrada principal de $z$ é ${\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};$ .

É importante que se cumpra $-\pi <\varphi \leq \pi$ porque, por exemplo para $z=-2i$ (que cumpre $\varphi =-\pi /2$ ), ten como raíz cadrada principal

{\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i

mais usar ${\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2$ , que non está en $-\pi <\varphi \leq \pi$ , produciría no seu lugar outra raíz cadrada ${\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.$ .

A función raíz cadrada principal é holomorfa en todas as partes agás no conxunto de números reais non positivos (en reais estritamente negativos nin sequera é continua). A serie de Taylor para ${\sqrt {1+x}}$ segue a ser válida para os números complexos $x$ con $|x|<1.$ (normalmente para os números complexos úsase a letra z e sería a serie de Taylor de ${\sqrt {1+z}}$ ).