Dominio (teoría dos aneis)

En álxebra, un dominio é un anel distinto de cero no que ab = 0 implica a = 0 ou b = 0. (Ás veces dise que un anel deste tipo "ten a propiedade do produto cero"). De forma equivalente, un dominio é un anel no que 0 é o único divisor de cero pola esquerda (ou equivalentemente, o único divisor de cero pola dereita). Un dominio conmutativo chámase dominio de integridade.^[1] A literatura matemática contén múltiples variantes da definición de "dominio".

Exemplos e non exemplos

O anel $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ non é un dominio, porque as imaxes de 2 e 3 neste anel son elementos distintos de cero co produto 0. De forma máis xeral, para un número enteiro positivo $n$ , o anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ é un dominio se e só se $n$ é primo.
Un dominio finito é automaticamente un corpo finito, segundo o teorema de Wedderburn.
Os cuaternións forman un dominio non conmutativo. De forma máis xeral, calquera anel de división é un dominio, xa que todo elemento distinto de cero é invertíbel.
O conxunto de todos os cuaternións de Lipschitz, é dicir, os cuaternións da forma $a+bi+cj+dk$ onde a, b, c, d son números enteiros, é un subanel non conmutativo dos cuaternións, polo tanto un dominio non conmutativo.
Do mesmo xeito, o conxunto de todos os cuaternións de Hurwitz, é dicir, os cuaternións da forma $a+bi+cj+dk$ onde a, b, c, d son todos enteiros ou todos medios enteiros (enteiros dividos por 2), é un dominio non conmutativo.
Un anel de matrices M_n (R) para n ≥ 2 nunca é un dominio: se R é distinto de cero, tal anel matricial ten divisores distintos de cero e incluso elementos nilpotentes distintos de 0. Por exemplo, o cadrado da matriz estándar E₁₂ é 0.
A álxebra tensorial dun espazo vectorial ou, de xeito equivalente, a álxebra de polinomios en variábeis non conmutativas sobre un corpo, $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ é un dominio. Isto pódese demostrar usando unha ordenación nos monomios non conmutativos.
Se R é un dominio e S é unha extensión de Ore de R, entón S é un dominio.
A álxebra de Weyl é un dominio non conmutativo.
A álxebra envolvente universal de calquera álxebra de Lie sobre un corpo é un dominio. A demostración usa a filtración estándar na álxebra envolvente universal e o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt.

Os aneis de grupos e o problema do divisor cero

Supoña que G é un grupo e K é un corpo. O anel de grupos R = K[G] é un dominio? A identidade

(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},

mostra que un elemento g de orde finita n > 1 induce un divisor de cero 1 − g en R. O problema do divisor cero pregunta se este é o único obstáculo; noutras palabras,

Dado un corpo K e un grupo libre de torsión G, é certo que K [G] non contén divisores de cero?

Non se coñecen contraexemplos, pero o problema segue aberto en xeral (até 2017).

Espectro dun dominio de integridade

Os divisores de cero teñen unha interpretación topolóxica, polo menos no caso dos aneis conmutativos: un anel R é un dominio de integridade se e só se é reducido e o seu espectro Spec R é un espazo topolóxico irredutíbel. A miúdo considérase que a primeira propiedade codifica algunha información infinitesimal, mentres que a segunda é máis xeométrica.

Un exemplo: o anel k[x, y]/(xy), onde k é un corpo, non é un dominio, xa que as imaxes de x e y neste anel son divisores de cero. Xeométricamente, isto correspóndese co feito de que o espectro deste anel, que é a unión das liñas x = 0 e y = 0, non é irredutíbel. De feito, estas dúas liñas son os seus compoñentes irredutíbeis.

Notas

↑ Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR 1838439.

Véxase tamén

Bibliografía

Charles Lanski (2005). Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X.
César Polcino Milies; Sudarshan K. Sehgal (2002). An introduction to group rings. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
Nathan Jacobson (2009). Basic Algebra I. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Louis Halle Rowen (1994). Algebra: groups, rings, and fields. A K Peters. ISBN 1-56881-028-8.

Outros artigos

[Lam-1] Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR 1838439.

[1]