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<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN"

"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">

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<title>2. Structures de données en Python. Un exemple de la théorie de l’information — Python scientifique - ENS Paris</title>

var DOCUMENTATION_OPTIONS = {

URL_ROOT: '',

VERSION: '2013.4',

COLLAPSE_INDEX: false,

FILE_SUFFIX: '.html',

HAS_SOURCE: true

};

</script>

</head>

<body>

<h3>Navigation</h3>

<ul>

<a href="stochastique.html" title="3. Systèmes statistiques : Nombres aléatoires - Monte Carlo"

accesskey="N">suivant</a></li>

<a href="preparation.html" title="1.1.1.1. Préparer la formation: téléchargement d’Anaconda"

accesskey="P">précédent</a> |</li>

<li><a href="index.html">Python scientifique - ENS Paris</a> »</li>

</ul>

</div>

<h1>2. Structures de données en Python. Un exemple de la théorie de l’information<a class="headerlink" href="#structures-de-donnees-en-python-un-exemple-de-la-theorie-de-l-information" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h1>

<h2>2.1. Modules et fichiers<a class="headerlink" href="#modules-et-fichiers" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h2>

<h3>2.1.1. Modules<a class="headerlink" href="#modules" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h3>

<p>On peut ranger les définitions de fonctions se rapportant à une même

application au sein d’un script commun baptisé <strong>module</strong></p>

<p>Un module est sauvegardé sous forme d’un fichier dont le nom a la

forme <tt class="docutils literal"><span class="pre"><nom</span> <span class="pre">du</span> <span class="pre">module>.py</span></tt></p>

<p>Pour utiliser un module, il faut se servir de l’instruction</p>

<div class="highlight-python"><pre>import <nom du module></pre>

</div>

<p>L’exécution de cette instruction consiste à exécuter le script

définissant le module (ce script peut contenir des instructions autres

que des définitions de fonctions).</p>

<p>Pour importer un module, Python a besoin de connaître le chemin qui

permet d’accéder au fichier correspondant. Ce chemin doit apparaître

dans la liste des chemins possibles stockés dans la variable <tt class="docutils literal"><span class="pre">path</span></tt> du

module <tt class="docutils literal"><span class="pre">sys</span></tt></p>

<p><strong>Première méthode d’importation</strong></p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="gp">>>> </span><span class="kn">import</span> <span class="nn">random</span>

<div class="newline"></div><span class="gp">>>> </span><span class="n">random</span><span class="o">.</span><span class="n">randint</span><span class="p">(</span><span class="mi">0</span><span class="p">,</span><span class="mi">10</span><span class="p">)</span>

</div>

<li>L’instruction import permet d’importer toutes les fonctions du

module random</li>

<li>Ensuite, nous utilisons la fonction (ou méthode) randint(a,b) du

module random; attention cette fonction renvoie un nombre entier

aléatoirement entre a inclus et b inclus</li>

</ul>

<p><strong>Deuxième méthode d’importation</strong></p>

<p>Pour disposer d’une fonction du module</p>

<div class="highlight-python"><pre>from [module] import [fonction]</pre>

</div>

<p>Pour disposer de toutes les fonctions d’un module</p>

<div class="highlight-python"><pre>from [module] import *</pre>

</div>

<p class="first admonition-title">Remarque</p>

<p class="last">Cette option est cependant à éviter notament lorsqu’un module propose un nombre important de fonctions et parce que certains modules ont des fonctions qui ont le même nom (par exemple, <tt class="docutils literal"><span class="pre">math</span></tt> et <tt class="docutils literal"><span class="pre">numpy</span></tt>)</p>

</div>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="kn">from</span> <span class="nn">math</span> <span class="kn">import</span> <span class="o">*</span>

<div class="newline"></div><span class="n">angle</span> <span class="o">=</span> <span class="n">pi</span><span class="o">/</span><span class="mi">6</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="n">sin</span><span class="p">(</span><span class="n">angle</span><span class="p">)</span>

</div>

<p><strong>Modules courants</strong></p>

<li>sys : passage d’arguments, gestion de l’entrée/sortie standard

etc...</li>

<li>os : dialogue avec le système d’exploitation.</li>

<li>math : fonctions et constantes mathématiques de base (sin, cos, exp,

pi...).</li>

<li>random : génération de nombres aléatoires.</li>

<li>time : permet d’accéder aux fonctions gérant le temps.</li>

<li>urllib : permet de récupérer des données sur internet depuis python.</li>

<li>re : gestion des expressions régulières.</li>

<li>numpy, scipy: modules incontournables du calcul scientifique</li>

<li>Tkinter : interface graphique</li>

</ul>

</div>

<h3>2.1.2. Fichiers<a class="headerlink" href="#fichiers" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h3>

<p>Pour permettre une interaction avec l’utilisateur, la méthode la plus simple consiste à employer la fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">raw_input()</span></tt>

:</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">print</span><span class="p">(</span><span class="s">'Entrez votre prénom : '</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="n">prenom</span> <span class="o">=</span> <span class="nb">raw_input</span><span class="p">()</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="s">'Bonjour,'</span><span class="p">,</span> <span class="n">prenom</span>

</div>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="n">prenom</span> <span class="o">=</span> <span class="nb">raw_input</span><span class="p">(</span><span class="s">'Entrez votre prénom : '</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="s">'Bonjour,'</span><span class="p">,</span> <span class="n">prenom</span>

</div>

<p class="first admonition-title">Remarque</p>

<p class="last">La fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">raw_input()</span></tt> renvoie toujours une chaîne de caractères alors que la fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">input()</span></tt> renvoie une valeur dont le type correspond à ce que l’utilisateur a entré`(i.e. une chaîne de caractères doit être entrée avec des guillemets).</p>

</div>

<p>Il est généralement important de dissocier les données des programmes qui les

utilisent en rangeant ces données dans des fichiers séparés.</p>

<p>Le module <tt class="docutils literal"><span class="pre">os</span></tt> contient des fonctions qui permettent de localiser

les fichiers :</p>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">getcwd()</span></tt> : Retourne le chemin du répertoire courant</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">chdir(<ch>)</span></tt> : Change le répertoire courant qui prend la valeur

donnée par la chaîne <ch></li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">path.isfile(<ch>)</span></tt> : Retourne un booléen qui indique s’il existe

un fichier de chemin <ch></li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">path.isdir(<ch>)</span></tt> : Retourne un booléen qui indique s’il existe

un répertoire de chemin <ch></li>

</ul>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="kn">from</span> <span class="nn">os</span> <span class="kn">import</span> <span class="n">chdir</span>

<div class="newline"></div><span class="n">chdir</span><span class="p">(</span><span class="s">"/home/exercices"</span><span class="p">)</span>

</div>

<p class="first admonition-title">Remarque</p>

<p class="last">En mode interactif, iPython reconnaît les commandes consoles traditionnelles (ls, cd, pwd, ...)</p>

</div>

<p>Pour utiliser un fichier identifié par le chemin <ch> dans un

programme Python, il faut commencer par l’ouvrir par l’appel de

fonction</p>

</div>

<p>qui retourne un objet de type file.</p>

<p>Le paramètre facultatif <tt class="docutils literal"><span class="pre"><mode></span></tt> indique le mode d’ouverture du

fichier :</p>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">r</span></tt> : mode lecture (le fichier doit exister préalablement)</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">w</span></tt> : mode écriture (si le fichier existe, les données sont

écrasées, sinon le fichier est créé)</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">a</span></tt> : mode ajout (si le fichier existe, les données écrites vont

l’être après celles existantes, sinon le fichier est créé)</li>

</ul>

<p>Si le mode est omis, le mode par défaut est <tt class="docutils literal"><span class="pre">r</span></tt>.</p>

<p>Un objet de type <tt class="docutils literal"><span class="pre">file</span></tt> est associé à des attributs et des

méthodes. En voici quelques-unes :</p>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">read([<n>])</span></tt> : retourne la chaîne des <n> caractères restants</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">readline()</span></tt> : lit une seule ligne à partir du fichier</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">readlines()</span></tt> : utilise f.readline() de façon répétitive, et

retourne une liste contenant toutes les lignes du fichier.</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">write(<ch>)</span></tt> : écrit la chaîne de caractères <ch></li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">close()</span></tt> : ferme le fichier</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">seek(<n>)</span></tt> : choisit le caractère <n> comme position courante du

fichier</li>

<li><tt class="docutils literal"><span class="pre">tell()</span></tt> : retourne le caractère en position courante</li>

</ul>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="c"># Exemple de copie intégrale d'un fichier</span>

<div class="newline"></div><span class="n">fs</span> <span class="o">=</span> <span class="nb">open</span><span class="p">(</span><span class="s">"source.txt"</span><span class="p">,</span> <span class="s">'r'</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="n">fd</span> <span class="o">=</span> <span class="nb">open</span><span class="p">(</span><span class="s">"destination.txt"</span><span class="p">,</span> <span class="s">'w'</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="k">while</span> <span class="mi">1</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">txt</span> <span class="o">=</span> <span class="n">fs</span><span class="o">.</span><span class="n">read</span><span class="p">(</span><span class="mi">50</span><span class="p">)</span> <span class="c"># copie de 50 caractères à la fois</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">break</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">fd</span><span class="o">.</span><span class="n">write</span><span class="p">(</span><span class="n">txt</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="n">fs</span><span class="o">.</span><span class="n">close</span><span class="p">()</span>

<div class="newline"></div><span class="n">fd</span><span class="o">.</span><span class="n">close</span><span class="p">()</span>

</div>

<p class="first admonition-title">Remarque</p>

<p class="last">Python fournit le module standard <em>pickle</em> qui peut prendre (presque) n’importe quel objet Python et le convertir en une représentation sous forme de chaîne de caractères (et le reconstruire). Il s’agit du moyen standard pour enregistrer des objets Python et les réutiliser dans d’autres programmes.</p>

</div>

<h2>2.2. Structures de données en Python<a class="headerlink" href="#structures-de-donnees-en-python" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h2>

<h3>2.2.1. Utilisation avancée des listes<a class="headerlink" href="#utilisation-avancee-des-listes" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h3>

<p><strong>Les fonctions héritées du fonctionnel.</strong>

La fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">map</span></tt> permet de transformer une liste via l’utilisation

d’une fonction. Elle prend en entrée une fonction et une liste et

retourne une nouvelle liste en appelant la fonction sur chaque élément

de la liste dans l’ordre. Voici quelques exemples d’utilisation :</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">carre</span><span class="p">(</span><span class="n">x</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="n">x</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">2</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="ow">not</span> <span class="nb">bool</span><span class="p">(</span><span class="n">x</span> <span class="o">%</span> <span class="mi">2</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="nb">map</span><span class="p">(</span><span class="n">carre</span><span class="p">,</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="mi">5</span><span class="p">])</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche [1, 4, 9, 16, 25]</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="nb">map</span><span class="p">(</span><span class="n">pair</span><span class="p">,</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="mi">5</span><span class="p">])</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche [False, True, False, True, False]</span>

</div>

<p>Comme dans les langages fonctionnels, avec le mot-clé <tt class="docutils literal"><span class="pre">lambda</span></tt>, il

est possible de créer des fonctions anonymes. Le premier exemple est

équivalent à</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">print</span> <span class="nb">map</span><span class="p">(</span><span class="k">lambda</span> <span class="n">x</span><span class="p">:</span> <span class="n">x</span><span class="o">**</span><span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="mi">5</span><span class="p">])</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche [1, 4, 9, 16, 25]</span>

</div>

<p>La fonction <strong>filter</strong> permet de retirer les valeurs d’une liste que

l’on ne veut pas. Elle prend en entrée une fonction et une liste et

retourne la liste des éléments (dans l’ordre) sur lesquels la fonction

retourne le booléen <tt class="docutils literal"><span class="pre">True</span></tt>.</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">petit_carre</span><span class="p">(</span><span class="n">x</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="n">x</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">2</span> <span class="o"><</span> <span class="mi">16</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="nb">filter</span><span class="p">(</span><span class="n">petit_carre</span><span class="p">,</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="mi">5</span><span class="p">])</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche [1, 2, 3]</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="nb">filter</span><span class="p">(</span><span class="n">pair</span><span class="p">,</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="mi">5</span><span class="p">])</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche [2, 4], c'est à dire les nombres pairs de la liste.</span>

</div>

<p><strong>Les compréhensions de liste.</strong>

Les compréhensions de liste sont des outils puissants permettant

d’utiliser map et filter avec une syntaxe plus proche de celle

habituelle en Python. De plus, elles permettent de combiner un <tt class="docutils literal"><span class="pre">map</span></tt> et

un <tt class="docutils literal"><span class="pre">filter</span></tt> en même temps.</p>

<p>Voici la syntaxe avec les exemples vus précédemment</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="c"># Affiche les carrés des éléments</span>

<div class="newline"></div><span class="n">liste</span> <span class="o">=</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="mi">5</span><span class="p">,</span> <span class="mi">6</span><span class="p">,</span> <span class="mi">7</span><span class="p">]</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Équivaut au map, en plus lisible et plus simple :) .</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche les nombres pairs</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="p">[</span><span class="n">x</span> <span class="k">for</span> <span class="n">x</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">liste</span> <span class="k">if</span> <span class="n">x</span> <span class="o">%</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">==</span> <span class="mi">0</span><span class="p">]</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Plus simple que filter, également :)</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># Affiche les carrés pairs (combinaison des deux)</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="p">[</span><span class="n">x</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">2</span> <span class="k">for</span> <span class="n">x</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">liste</span> <span class="k">if</span> <span class="n">x</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">%</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">==</span> <span class="mi">0</span><span class="p">]</span>

<div class="newline"></div><span class="c"># ou print [x for x in [a ** 2 for a in liste] if x % 2 == 0]</span>

</div>

<p><strong>Méthodes supplémentaires sur les listes</strong></p>

<p>Voici une liste des méthodes des objets de type liste les plus utiles :</p>

<tr class="field-odd field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.append(x)</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Ajoute l’élément x à la fin de la liste L</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-even field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L1.extend(L2)</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Étend la liste L1 en y ajoutant tous les éléments de la liste L2</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-odd field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.insert(i,</span> <span class="pre">x)</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Insère l’élément x dans la liste L à la position i</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-even field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.remove(x)</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Supprime de la liste L le premier élément dont la valeur est x.</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-odd field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.pop([i])</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Enlève de la liste L l’élément situé à la position i</p>

<p>Si aucune position n’est indiqué, L.pop() enlève et retourne le dernier élément de la liste</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-even field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.index(x)</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Retourne la position du premier élément de la liste L ayant la valeur x.</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-odd field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.sort()</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first">Trie les éléments de la liste, en place.</p>

</td>

</tr>

<tr class="field-even field"><th class="field-name"><tt class="docutils literal"><span class="pre">L.reverse()</span></tt>:</th><td class="field-body"><p class="first last">Inverse l’ordre des éléments de la liste, en place.</p>

</td>

</tr>

</tbody>

</table>

</div></blockquote>

<p class="first admonition-title">Remarque</p>

<p class="last">Ces méthodes permettent d’utiliser les listes comme des piles (i.e. une structure de donnée “dernier entré, premier sorti” ou LIFO) L’ajout d’un élément sur la pile se fait avec la méthode <tt class="docutils literal"><span class="pre">append()</span></tt> et la méthode <tt class="docutils literal"><span class="pre">pop()</span></tt> permet de récupérer l’objet au sommet de la pile. Cependant, les listes ne sont pas adaptées pour implanter des files (i.e. une structure de donnée “dernier entré, dernier sorti” ou FIFO) pour lesquelles il vaut mieux utiliser la classe <tt class="docutils literal"><span class="pre">collections.deque</span></tt>.</p>

</div>

<h3>2.2.2. Un exemple de structures de donnée complexe : Le tas<a class="headerlink" href="#un-exemple-de-structures-de-donnee-complexe-le-tas" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h3>

<p><strong>Tas binaire.</strong> Un tas binaire (en anglais, heap) est une structure de données qui :</p>

<li>est un arbre binaire</li>

<li>est ordonné de sorte que la clé d’un nœud est toujours inférieure à la clé de ses fils (de sorte que son plus petit élément est toujours la racine de l’arbre).</li>

</ul>

<p>Les tas binaires supportent les opérations suivantes :</p>

<li>Construire-Tas</li>

<li>Ajouter-Élément</li>

<li>Consulter-Sommet</li>

<li>Retirer-Élément</li>

<li>Tamiser (refabriquer le tas pour qu’il retrouve ses propriétés; par exemple suite à l’ajout ou la suppression d’un élément)</li>

</ul>

<p>Les tas permettent notamment d’implanter les <strong>files de priorité</strong> qui permettent d’effectuer les trois opérations suivantes :</p>

<li>insérer un élément</li>

<li>lire puis supprimer l’élément ayant la plus grande clé</li>

<li>tester si la file de priorité est vide ou pas</li>

</ul>

<p><strong>Module heapq</strong>. Ce module propose une implantation efficace des tas binaires (et des files de priorité) qui utilise naturellement des tableaux.</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="kn">import</span> <span class="nn">heapq</span>

</div>

<p>Les fonctions suivantes sont notamment définies :</p>

<tr class="field-odd field"><th class="field-name" colspan="2"><tt class="docutils literal"><span class="pre">heapq.heappush(T,</span> <span class="pre">x)</span></tt>:</th></tr>

<tr class="field-odd field"><td> </td><td class="field-body">Ajoute la valeur x au tas T (en conservant la propriété de tas)</td>

</tr>

<tr class="field-even field"><th class="field-name" colspan="2"><tt class="docutils literal"><span class="pre">heapq.heappop(T)</span></tt>:</th></tr>

<tr class="field-even field"><td> </td><td class="field-body">Enlève et retourne le premier élément du tas T</td>

</tr>

<tr class="field-odd field"><th class="field-name" colspan="2"><tt class="docutils literal"><span class="pre">heapq.heapify(L)</span></tt>:</th></tr>

<tr class="field-odd field"><td> </td><td class="field-body">Transforme la liste L en un tas (en place et en temps linéaire)</td>

</tr>

</tbody>

</table>

</div></blockquote>

<p class="first admonition-title">Remarque</p>

<p class="last">En pratique, puisque un tas est un arbre binaire, l’implantation utilise des tableaux unidimensionel de sorte que <tt class="docutils literal"><span class="pre">tas[k]</span> <span class="pre"><=</span> <span class="pre">tas[2*k+1]</span></tt> et <tt class="docutils literal"><span class="pre">tas[k]</span> <span class="pre"><=</span> <span class="pre">tas[2*k]</span></tt> pour tout <tt class="docutils literal"><span class="pre">k</span></tt>. En particulier le père d’un noeud en position <tt class="docutils literal"><span class="pre">k</span></tt> a pour position <tt class="docutils literal"><span class="pre">(k-1)/2</span></tt> et les fils d’un noeud en position <tt class="docutils literal"><span class="pre">k</span></tt> sont situés aux positions <tt class="docutils literal"><span class="pre">2*k</span></tt> et <tt class="docutils literal"><span class="pre">2*k+1</span></tt>.</p>

</div>

<div class="highlight-python"><pre>In [1]: from heapq import *

In [2]: L = [7,4,8,1,9,3,2,6,5]

In [3]: heapify(L)

In [4]: L

Out[4]: [1, 4, 2, 5, 9, 3, 8, 6, 7]</pre>

</div>

</div>

<h2>2.3. Codage de Huffman<a class="headerlink" href="#codage-de-huffman" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h2>

<h3>2.3.1. Principe<a class="headerlink" href="#principe" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h3>

<p>Le <strong>codage de Huffman</strong> est une méthode de compression de données

sans perte proposé par David Huffman en 1952. Elle consiste à

attribuer un mot binaire de longueur variable aux différents symboles

du document à compresser (pixels ou caractères par exemple). Les

symboles les plus fréquents sont codés avec des mots courts, tandis

que les symboles les plus rares sont encodés avec des mots plus longs

(rappelant ainsi le principe de l’alphabet Morse). Le code construit a

la particularité de ne posséder aucun mot ayant pour préfixe un autre

mot (i.e. il s’agit d’un code préfixe).</p>

<p>Le codage de Huffman crée un arbre binaire à partir de tous les

symboles et de leur nombre d’occurrences dans le document :</p>

<li>chaque caractère constitue une des feuilles de l’arbre à laquelle on

associe un poids valant son nombre d’occurrences</li>

<li>l’arbre est créé récursivement en associant à chaque étape les deux nœuds de plus faibles poids pour donner un nœud dont le poids est égal à la somme des poids de ses fils jusqu’à n’en avoir plus qu’un, la racine.</li>

</ul>

<p>L’utilisation d’un tas pour construire cet arbre est donc particulièrement appropriée.</p>

<p>On associe ensuite le code 0 à la branche de gauche et le code 1 à la

branche de droite et le code binaire de chaque symbole est alors

obtenu en parcourant la racine jusqu’à la feuille et en notant le

parcours (0 ou 1) à chaque noeud.</p>

<p>Un arbre d’Huffman associé au texte “PROGRAMMATION EN LANGAGE PYTHON”

est donné sur la figure suivante :</p>

</div>

<p>La lettre “A” avec 4 occurrences est codée par le triplet 011 alors

que la lettre Y plus rare est codée par le mot de 5 bits 01001.</p>

</div>

<h3>2.3.2. Implantation du codage de Huffman en Python<a class="headerlink" href="#implantation-du-codage-de-huffman-en-python" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h3>

<p><strong>Table des occurrences.</strong> La première étape de la méthode de compression de Huffman consiste à compter le nombre d’occurrences de chaque symbole.</p>

<p class="topic-title first"><strong>Exercice</strong>: Construire une table des occurrences</p>

<p>Écrire une fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">table_frequences</span></tt> qui étant donné une chaîne de caractère <tt class="docutils literal"><span class="pre">texte</span></tt> retourne un dictionnaire qui associe à chaque caractère son nombre d’occurrences dans <tt class="docutils literal"><span class="pre">texte</span></tt>.</p>

<p>Le prototype de la fonction sera le suivant</p>

<div class="highlight-python"><pre>def table_frequences(texte):</pre>

</div>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="n">table_frequences</span><span class="p">(</span><span class="s">"ABRACADABRA"</span><span class="p">)</span>

</div>

<p>devra retourner un dictionnaire de la forme</p>

</div>

<p class="topic-title first"><strong>Solution</strong>:</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">table_frequences</span><span class="p">(</span><span class="n">texte</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">table</span> <span class="o">=</span> <span class="p">{}</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">for</span> <span class="n">caractere</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">texte</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">if</span> <span class="n">caractere</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">table</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">table</span><span class="p">[</span><span class="n">caractere</span><span class="p">]</span> <span class="o">=</span> <span class="n">table</span><span class="p">[</span><span class="n">caractere</span><span class="p">]</span> <span class="o">+</span> <span class="mi">1</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">table</span><span class="p">[</span><span class="n">caractere</span><span class="p">]</span> <span class="o">=</span> <span class="mi">1</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="n">table</span>

</div>

<p><strong>Arbre de Huffman.</strong> Une approche naturelle pour construire l’arbre de Huffman à partir de la table des occurrences consiste à utiliser un tas binaire.</p>

<p>Dans un premier temps, on peut construire un tas correspondant à la table des occurrences (qui aura donc le caractère le moins fréquent à la racine). Ensuite, il faut utiliser cette structure pour construire récursivement l’arbre binaire :</p>

<li>en recherchant les deux noeuds de plus petit poids (en utilisant la structure de tas)</li>

<li>en fusionnant ces deux noeuds en un seul :<ul>

<li>dont le poids est égal à la somme des poids des deux noeuds</li>

<li>qui a ces deux noeuds comme fils</li>

</ul>

</li>

</ul>

<p>Une représentation possible pour le noeud ainsi construit est d’utiliser un dictionnaire à deux clés (par exemple 0 pour gauche et 1 pour droite) dont les valeurs sont les représentations des noeuds initiaux.</p>

<p class="topic-title first"><strong>Exercice</strong>: Construire un arbre de Huffman</p>

<p>Écrire une fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">arbre_huffman</span></tt> qui étant donné un dictionnaire construit par la fonction précédente retourne une représentation de l’arbre de Huffman correspondant.</p>

<p>Le prototype de la fonction sera le suivant</p>

<div class="highlight-python"><pre>def arbre_huffman (occurrences):</pre>

</div>

<p>et l’appel de</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="n">arbre_huffman</span><span class="p">(</span><span class="n">table_frequences</span><span class="p">(</span><span class="s">"ABRACADABRA"</span><span class="p">))</span>

</div>

<p>devra retourner un dictionnaire de la forme</p>

</div>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">arbre_huffman</span><span class="p">(</span><span class="n">occurrences</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="c"># Construction d'un tas avec les lettres sous forme de feuilles</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">tas</span> <span class="o">=</span> <span class="p">[(</span><span class="n">occ</span><span class="p">,</span> <span class="n">lettre</span><span class="p">)</span> <span class="k">for</span> <span class="p">(</span><span class="n">lettre</span><span class="p">,</span> <span class="n">occ</span><span class="p">)</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">occurrences</span><span class="o">.</span><span class="n">items</span><span class="p">()]</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">heapify</span><span class="p">(</span><span class="n">tas</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div> <span class="c"># Création de l'arbre</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">while</span> <span class="nb">len</span><span class="p">(</span><span class="n">tas</span><span class="p">)</span> <span class="o">>=</span> <span class="mi">2</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">occ1</span><span class="p">,</span> <span class="n">noeud1</span> <span class="o">=</span> <span class="n">heappop</span><span class="p">(</span><span class="n">tas</span><span class="p">)</span> <span class="c"># noeud de plus petit poids occ1</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">occ2</span><span class="p">,</span> <span class="n">noeud2</span> <span class="o">=</span> <span class="n">heappop</span><span class="p">(</span><span class="n">tas</span><span class="p">)</span> <span class="c"># noeud de deuxième plus petit poids occ2</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">heappush</span><span class="p">(</span><span class="n">tas</span><span class="p">,</span> <span class="p">(</span><span class="n">occ1</span> <span class="o">+</span> <span class="n">occ2</span><span class="p">,</span> <span class="p">{</span><span class="mi">0</span><span class="p">:</span> <span class="n">noeud1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">1</span><span class="p">:</span> <span class="n">noeud2</span><span class="p">}))</span>

<div class="newline"></div> <span class="c"># ajoute au tas le noeud de poids occ1+occ2 et avec les fils noeud1 et noeud2</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="n">heappop</span><span class="p">(</span><span class="n">tas</span><span class="p">)[</span><span class="mi">1</span><span class="p">]</span>

</div>

<p><strong>Code de Huffman</strong></p>

<p class="topic-title first"><strong>Exercice</strong>: Code de Huffman</p>

<p>Écrire une fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">code_huffman</span></tt> qui étant donné un arbre de Huffman construit par la fonction précédente retourne un dictionnaire où les clés sont les chaînes binaires et les valeurs les caractères correspondants.</p>

<p>Le prototype de la fonction sera le suivant</p>

<div class="highlight-python"><pre>def code_huffman(arbre):</pre>

</div>

<p>et l’appel de</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="n">C</span> <span class="o">=</span> <span class="n">code_huffman</span><span class="p">(</span><span class="n">T</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="k">print</span> <span class="n">T</span>

</div>

<p>avec T l’arbre précédent, devra retourner un dictionnaire de la forme suivante</p>

</div>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">code_huffman_parcours</span><span class="p">(</span><span class="n">arbre</span><span class="p">,</span><span class="n">prefixe</span><span class="p">,</span><span class="n">code</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">for</span> <span class="n">noeud</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">arbre</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">if</span> <span class="nb">len</span><span class="p">(</span><span class="n">arbre</span><span class="p">[</span><span class="n">noeud</span><span class="p">])</span> <span class="o">==</span> <span class="mi">1</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">code</span><span class="p">[</span><span class="n">prefixe</span><span class="o">+</span><span class="n">noeud</span><span class="p">]</span> <span class="o">=</span> <span class="n">arbre</span><span class="p">[</span><span class="n">noeud</span><span class="p">]</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">code_huffman_parcours</span><span class="p">(</span><span class="n">arbre</span><span class="p">[</span><span class="n">noeud</span><span class="p">],</span><span class="n">prefixe</span><span class="o">+</span><span class="n">noeud</span><span class="p">,</span><span class="n">code</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div><span class="k">def</span> <span class="nf">code_huffman</span><span class="p">(</span><span class="n">arbre</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">code_huffman_parcours</span><span class="p">(</span><span class="n">arbre</span><span class="p">,</span><span class="s">''</span><span class="p">,</span><span class="n">code</span><span class="p">)</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="n">code</span>

</div>

<p><strong>Encodage et décodage</strong></p>

<p class="topic-title first"><strong>Exercice</strong>: Encodage</p>

<p>Écrire une fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">encodage</span></tt> qui étant donné un code de Huffman construit par la fonction précédente et le texte initial retourne la chaîne de bits produite par le codage de Huffman.</p>

<p>Le prototype de la fonction sera le suivant</p>

<div class="highlight-python"><pre>def encodage(code,texte):</pre>

</div>

<p>et l’appel de</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="n">encodage</span><span class="p">(</span><span class="n">C</span><span class="p">,</span><span class="s">"ABRACADABRA"</span><span class="p">)</span>

</div>

<p>avec C le code précédent, devra retourner la chaîne binaire suivante</p>

</div>

<p class="topic-title first"><strong>Solution</strong>:</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">encodage</span><span class="p">(</span><span class="n">texte</span><span class="p">,</span><span class="n">code</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="c"># construit le dictionnaire inverse</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">texte_binaire</span> <span class="o">=</span> <span class="s">''</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">for</span> <span class="n">c</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">texte</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">texte_binaire</span> <span class="o">=</span> <span class="n">texte_binaire</span> <span class="o">+</span> <span class="n">code_inv</span><span class="p">[</span><span class="n">c</span><span class="p">]</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">return</span> <span class="n">texte_binaire</span>

</div>

<p class="topic-title first"><strong>Exercice</strong>: Décodage</p>

<p>Écrire une fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">decodage</span></tt> qui étant donnés un code de Huffman et un texte binaire compressé retourne le texte initial.</p>

<p>Le prototype de la fonction sera le suivant</p>

<div class="highlight-python"><pre>def decodage(code,texte_binaire):</pre>

</div>

<p>et l’appel de</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="n">encodage</span><span class="p">(</span><span class="n">T</span><span class="p">,</span><span class="s">"01111001100011010111100"</span><span class="p">)</span>

</div>

<p>avec C le code précédent, devra retourner la chaîne binaire suivante</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="s">"ABRACADABRA"</span>

</div>

<p class="topic-title first"><strong>Solution</strong>:</p>

<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="k">def</span> <span class="nf">decodage</span><span class="p">(</span><span class="n">code</span><span class="p">,</span><span class="n">texte_binaire</span><span class="p">):</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">texte</span> <span class="o">=</span> <span class="s">''</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">tampon</span> <span class="o">=</span> <span class="s">''</span>

<div class="newline"></div> <span class="k">for</span> <span class="n">b</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">texte_binaire</span><span class="p">:</span>

<div class="newline"></div> <span class="n">tampon</span> <span class="o">=</span> <span class="n">tampon</span><span class="o">+</span><span class="n">b</span>

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